高等代数多项式之一元多项式
对多项式讨论的前提条件为预先给定数域P作基础。
定义2： 在数域P上， 称为数域P上的一元多项式。其中 全属于数域P。
定义3： 设 为多项式，如果 除了系数为零的项外，同次项的 系数 全 相等 ，那么 两者相等 。（规定一元多项式相等的条件）
多项式运算规则：1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法分配律 6、乘法消去律
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0，零多项式是 唯一 不定义次数的多项式。
多项式 的次数记为 ——假定f(x)不等于0，简而言之，一个多项式的次数便是此多项式***次数。
—— 即两个多项式相加的次数小于等于两个多项式中次数***者的次数。
—— 两个多项式相乘的次数等于两个多项式各自的次数相加
数域P上的两个多项式经过加减乘除后仍为数域P上的多项式
定义4： 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的 一元多项式环 ，记为P[x]，P称为P[x]的系数域
一元多项式的定义
一元多项式的定义
设 a0,a1,…,an都是数域 F 中的数, n 是非负整数,那么表达式anxn-1x2x1x+ a0(an≠0) 叫做数域 F上一个文字 x 的多项式或一元多项式。 在多项式中,a0叫做零次多项式或常数项,a1x 叫做一次项,一般,aix 叫做i次项,ai 叫做 i 次项的系数。一元多项式用符号 f(x),g(x),…来表示。
高等代数理论基础3：一元多项式
定义：形式表达式 称为系数在数域P上的一元多项式
其中
多项式 中
定义： 称为i次项， 称为i次项系数
若 ,则称 为多项式的首项, 为首项系数,n为多项式的次数,记作
定义： ,则称f(x)为零多项式,记作0.
注：零多项式是唯一不定义次数的多项式
区别：
定义：若多项式f(x)与g(x)同次项系数全相等,则称f(x)与g(x)相等,记作f(x)=g(x)
即,
设数域P上两个多项式
若 ,令 ,则
其中s次项的系数为
1. 仍为数域P上的多项式
2.
3.若 ,则 ,且
4.若 ,则f(x)g(x)的首项为 ,次数为n+m,(f(x)g(x)的首项系数=f(x)的首项系数*g(x)的首项系数)
1.加法交换律
2.加法结合律
3.乘法交换律
4.乘法结合律
5.乘法对加法的分配律
6.乘法消去律
证明：乘法结合律
证：
证明：乘法消去律
证：
定义：所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记作P[x],P称为P[x]的系数域
一元多项式的运算
一元多项式的运算是所有系数在数域P上的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],p称为p[x]的系数域。
条件需要m gt; 1.
由f(x) | f(x^m), 若α是f(x)的根则α也是f(x^m)的根.
即有f(α^m) = 0, 也即α^m也是f(x)的根.
由此可以得到一个序列: α, α^m, α^(m²),..., 它们都是f(x)的根.
由f(x)不为零多项式, f(x)只有有限个根.
因此上述序列中至少有两项相等.
设有α^p = α^q, p lt; q, 则α^p·(α^(q-p)-1) = 0.
若α = 0, 结论成立. 若α ≠ 0, 有α^(q-p) = 1, 结论也成立.
一元多项式的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于一元多项式运算数据结构、一元多项式的信息别忘了在本站进行查找喔。