高等数学 微积分 导数 练习题
设一正方形的金属薄片受温度变化的影响,其边长从x.变化到x.＋△x,问该薄片面积变化了多少. 这是一个实际问题,S=x^2,因此 △S=S(x.＋△x)-S(△x) =(x.＋△x)^2-x.^2 =2*x.*△x+△x^2. 2*x.*△x称为△S的线性主部,也就是函数的微分,因此微分是一个近似值,对于一个函数 y=f(x),dy=A*△x, △y=A*△x+0(△x),A是常数,0(△x)是比△x的高阶无穷小, 等式两边除以△x, △y/△x=A+0(△x)/△x, 当△x趋于0时,lim 0(△x)/△x=0, 因此A=lim(△y/△x)=f'(x.), 也就是dy=f'(x)*dx. 曰释怀老婆12 2014-09-26
《 高等数学下（B） 》练习题 2018-2019***学期 计算题
14设u=x2−y2，v=exy，则z=f(u,v)
因此
∂z∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x=2xf′1+yexyf′2
∂z∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y=−2yf′1+xexyf′2
∴∂2z∂x∂y=∂∂y(2xf′1+yexyf′2)=2x∂f′1∂y+exyf′2+xyexyf′2+yexy∂f′2∂y=2xf11''⋅(−2y)+2xf12''⋅(xexy)+exyf′2+xyexyf′2+yexy[f21''⋅(−2y)+f22''⋅(xexy)]=−4xyf11''+2(x2−y2)exyf12''+xye2xyf22''+(1+xy)exyf′2
15.积分区域：0≤x≤1，0≤y≤x
∫∫3xy^2dxdy
=3∫xdx∫y^2dy
=3∫x[y^3/3]dx
=3∫x*x^3/3dx
=∫x^4dx
=x^5/5
=1/5
16
记D1=(x,y)|x2+y2⩽1，(x,y)∈D
D2=(x,y)|x2+y21，(x,y)∈D
∴∬D|x2+y2−1|dσD1(x2+y2−1)dxdy+∬D2(x2+y2−1)dxdyD(x2+y2−1)dxdy−∬D1(x2+y2−1)dxdy=−∬=−∫π20dθ∫10(r2−1)rdr+∬=π8+∫10dx∫10(x2+y2−1)dy−∫π20dθ∫10(r2−1)rdr=π4−13
17【解答】
解:
级数通项un=ln(n/(n+1))
lim(n→无穷)un=lim(n→无穷)ln(n/(n+1))=lim(n→无穷)ln(1/(1+1/n))=0
因为sn=ln(1/(n+1))
所以S=lim(n→无穷)SN=lim(n→无穷)ln(1/(n+1))不存在
所以该级数发散
高等数学(同步练习248题)1上册***章函数与极限1个选择题，第五章定积分1个填空题、1个选择题？
图1中的题目应用导数的定义与极限的性质；图2中的题目应用变量代换及导数的定义；图3中的题目应用定积分不等式的性质。具体内容如图所示
欢迎探讨交流。
大学高数练习题
解：第1题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。 又，lim(n→∞)|Un+1/Un|=|x|/Rl，故，其收敛区间为，|x|1。
设S(x)=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，两边由S(x)对x求导、当|x|1时，有S'(x)= ∑(-x)^n=1/(1+x)。两边从0到x积分，原式=ln(l+x)，其中，|x|1。
第2题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。 又，lim(n→∞)|Un+1/Un|=(x^2)/R1，故，其收敛区间为，|x|1。
设S(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)，两边由S(x)对x求导、|x|1时，有S'(x)= ∑x^(2n)=1/(1-x^2)。两边从0到x积分，原式=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中，|x|1。
供参考。
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