向量值函数的向量值函数的微分
若向量值函数r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k
则向量值函数的微分表达式为
r'(t) = x'(t)i + y'(t)j+z'(t)k
或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}
向量值函数笔记: Bochner积分
这是向量值函数(B值函数)系列笔记的***篇. 为方便阅读, 这里放出目录:
(1) 向量值函数笔记: Bochner积分
(2) 向量值函数笔记: L^p空间
(3) 向量值函数笔记:Sobolev空间
这篇笔记里的材料大部分来自于Yosida的泛函分析, Hunter的PDE笔记, Evans的偏微分方程, 以及一些网上的讲义, 也有自己补充的材料.
设 是一个完备(这可以省去很多烦恼, 而且我们的应用中都是完备的)的测度空间, 是 ( 或 )上的Banach空间, 是 上的Borel集全体.
我们先定义较弱一些的可测性, 即便它们并不是最常用的.
若 是有限集, 则称 是简单函数. 从这些定义出发, 我们先注意到一些简单的事实.
我们再定义强可测性, 这是最常用的可测性.
自然, 每个可测简单函数也是强可测的. 另外, 由这个定义, 我们立刻可以看出强可测函数关于极限是封闭的.
既然定义了强可测又定义了弱可测, 那么我们自然要说明它们的名字恰如其分.
显然可测简单函数都是强可测的. 对一般的情形, 下面的定理告诉我们什么时候弱可测蕴含强可测.
自然, 如果 本身是可分的, 那么弱可测就等价于强可测.
为了对强可测函数进行运算, 我们首先要证明它们关于常用的运算封闭.
简单地说, 这个命题告诉我们所有的强可测函数组成可测函数环上的模, 并且和 上连续函数复合起来也是可测的.
我们开始考虑积分运算. 对于可测简单函数 (其中 , 两两不交)满足 , 定义 . 如果 满足 , 那么 , 从而 , 从而 是有定义的. 我们还注意到 .
为了说明定义的合理性, 我们需要说明这些 的积分确实是存在的(这在之前已经完成), 并且积分的极限也存在, 而且极限和 的选取无关(事实上只需要说明极限存在就够了, 因为对任何两列这样的简单函数, 我们可以把它们合并成一列, 依然满足之前的条件). 首先 肯定是强可测的, 然后 是可测的. 下面验证 是C***chy列. , 这就验证了 是C***chy列.
下面的定理告诉我们如何判断一个向量值函数是可积的.
现在我们可以定义 空间的类似物.
下面我们来讨论Bochner积分的性质.
首先是一些最简单的观察. 当 在 中收敛到 时, 由 知 在 中收敛到 .
如果 Bochner可积, 是Bochner可积定义里的函数. 由于对简单函数而言 , 左边收敛于 , 右边收敛于 , 故 . 这是一个在放缩中很重要的不等式, 所以我们首先建立了它.
接着我们考虑一个简单但有用的事情. 即当 Bochner可积时是否有 ?这里 , 从而 也是一个完备的测度空间. 事实上我们只需要对可测简单函数验证这点即可, 这当然是成立的.
然后我们还需要向量值版本的Lebesgue控制收敛定理.
我们还需要微分定理, 这在处理和弱导数有关的问题时十分有用. 此时我们假定 , 测度是Lebesgue测度(这当然是完备的).
下面是一个重要的定理, 它帮助我们理解不同空间上的Bochner积分之间的关系, 这对初学者(比如我)来说尤为重要, 它可以帮助澄清许多问题.
为了说明它澄清了什么问题, 我们看一个例子. 设 , 那么我们当然有 , 也有 , 那么 可以在 中进行, 也可以在 中进行, 那么我们怎么知道它们是否一样呢?事实上, 我们还有 , 所以我们可以在 内考虑这个积分. 由于包含映射 是有界的, 所以我们知道 , 左边是 中的积分再映入 中, 右边是在 中进行积分, 这个等式说明它们在 中一致, 那当然是几乎处处相等的. 类似地, 中的积分也可以这么考虑, 所以不论是 中的积分还是 中的积分, 它们最后都几乎处处等于 中的积分, 它们俩当然也几乎处处相等.
但是我们以后也会看到, 在不同空间中积分有时候也会带来质的差别.
关于Bochner积分的最后一件事是建立Fubini定理. 我们在应用上用不到抽象版本的Fubini定理, 所以只需建立 上的就够了. 我们用 来标记 中的点, 其中 , .
向量函数和向量值函数区别
没区别，向量函数和向量值函数没什么区别，有些地方貌似定义是一样的，都是Rn-Rm的映射。有些地方又把向量值函数定义为R-Rm的映射。一个函数，若其值域是一个线性空间或一个线性空间的一个子集，则称此函数为向量值函数。我们知道，一元函数是一个由定义域到值域的映射，其定义域与值域都是一维数集．我们要研究的向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数，就是说 n 元向量值函数是x到xn上的映射。我们感兴趣的是取值为二维和三维的向量值函数，即n = 2和n = 3的情形。
中文名
向量值函数
外文名
Vector-valued function
表达式
r(t)= f(t),g(t),h(t) =f(t)i+g(t)j+ h(t)k
一个函数，若其值域是一个线性空间或一个线性空间的一个子集，则称此函数为向量值函数。
在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为x = f (t),，y = g(t)，t∈I ，这样点(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲线C ，它是质点的运动路径，它用参数方程来描述。如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P(f (t), g(t))的向量，那么r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j。
向量值函数的向量值函数的定义
例如，在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为
x = f (t), y = g(t)，t∈I ．
这样点(x, y) = ( f (t), g(t))形成平面曲线C ，它是质点的运动路径，它用参数方程来描述．如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P( f (t), g(t))的向量，那么
r(t) = OP = { f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j 首先，我们通过向量值函数的分量函数来定义它的极限，然后再定义它的连续性．
对于二维向量值函数r(t) = f (t)i + g(t)j，设它在t0 的某去心邻域内有定义，
如果lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0)
则称当t →t0 时，向量值函数r(t)的极限存在，其极限为lim r(t)=a i+b j (t→t0)
如果二维向量值函数r(t) = f (t)i + g(t)j在0 t 的某邻域内有定义，且lim r(t)=r(to) (t→t0)
则称向量值函数r(t)在点t0 处连续．如果r(t)在区间I 的每个点上连续，则称r(t)为区间I 上连
续的向量值函数． lim r(t)=a i+b j (t→t0)
其中lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0)
向量值函数笔记:Sobolev空间
这是向量值函数(B值函数)系列笔记的第三篇. 为方便阅读, 这里放出目录:
(1) 向量值函数笔记: Bochner积分
(2) 向量值函数笔记: L^p空间
(3) 向量值函数笔记:Sobolev空间
如果有记号未曾定义便出现, 请参阅之前的笔记.
下面我们讨论时间弱导数, 此时我们假定测度空间 是 中的开区间(不一定有限), 测度是Lebesgue测度, 相应的Lebesgue-Bochner空间记为 , 如果 , 则记为 .
我们首先还是要建立弱导数的唯一性, 这依赖于下面的引理:
由这个引理, 如果 都是 的弱导数, 那么 , 有 , 故 -a.e..
和普通的一维Sobolev空间一样, 弱导数存在等价于绝对连续.
由这个定理可以知道, 弱导数存在可以说相当于绝对连续. 所以实际上(3)还有更多的含义: 在 上是绝对连续的(从而也几乎处处有经典导数), 并且其经典导数几乎处处等于 .
接下来我们要讨论所谓的Hilbert三元组(名称来自Hunter的讲义), 不过我们不打算讨论太过一般的情形, 而依旧只讨论evans上的 的情形.
设 是 中的有界区域. 如果 , 那么显然也有 . 假设 在 中有弱导数 , 即对任何 , 有 , 这个等号是 中的等号, 两个积分是 中的Bochner积分, 并且 . 在这种情况下, 我们就简单说 , . 我在初学时一直没想明白为什么 所在的Banach空间和弱导数所在的不一样, 所以特此说明.
向量值函数的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于向量值函数的导数、向量值函数的信息别忘了在本站进行查找喔。