数列收敛的定义是什么?
数列收敛的定义是设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|Xn-a|q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列(Convergent Sequences)。
如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。推论:无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。
扩展资料
收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|M,若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的。如果数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。
什么是收敛数列?
性质
1、唯一性
思维导图
如果数列Xn收敛,每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性
定义:设有数列Xn , 若存在M0,使得一切自然数n,恒有|Xn|M成立,则称数列Xn有界。
定理1:如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。推论:无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件
3、保号性
若数列某项起Xn0(或Xn0)且{Xn}收敛于a,则a0(或a0),
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收敛数列,设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|Xn-a|q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列(Convergent Sequences)。
数列收敛到底是什么意思
数列收敛是设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|Xn-a|q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a)。
如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。
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用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a、列表法;b、图像法;c、解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
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