tangent bundle是什么意思
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张量(物理中力学名称)详细资料大全
张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要套用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函式。
基本介绍 中文名 ：张量 外文名 ：Tensor 提出者 ：威廉·罗恩·哈密顿 提出时间 ：1846年 套用学科 ：力学，数学 适用领域范围 ：连续介质力学 物理名称,背景知识,规定,定义,基本运算,特殊张量,协变导数与算符,例子,张量密度,张量相关, 物理名称 张量 （Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是| n |维空间内，有| n |个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函式， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），***阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。 在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性运算元。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。 虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。 背景知识 “张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。 这个概念由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗在1890年在《绝对微分几何》的标题下发展出来，随着1900年列维-奇维塔的经典文章《绝对微分》（义大利文，随后出版了其他译本）的出版而为许多数学家所知。随着1915年左右爱因斯坦的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言（其实是Marcel Gros***an,他是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的同学，一个几何学家，也是爱因斯坦在张量语言方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），并学得很艰苦。但张量也用于其它领域，例如连续力学，譬如应变张量（参看线性弹性）。 注意“张量”一词经常用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。要更好的理解张量场，必须首先理解张量的基本思想。 规定 1.求和约定 指在给定的项中凡有一上和一下两个相同的指标就表示对该指标从1到空间维数 N 求和。例如，在三维空间中， 2.张量指标 包括哑指标和自由指标。哑指标是指各项中一上和一下成对的相同指标。例如，上式中的指标 i 就是哑指标。自由指标是指在方程的所有项中只出现一次的指标。 定义 有两种定义张量的方法： 1. 按变换规律定义 若一坐标系 中 个量 与另一坐标系 中 个量 间满***换规律 则 称为 r 阶逆变和 s 阶协变混合张量的分量。若 s =0，则 称为 r 阶逆变张量的分量。若 r =0，则 称为 s 阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。 2.按不变性定义 凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为 r + s 阶张量： 式中 和 分别为坐标系 和 中的协（逆）变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。 基本运算 1． 加减法 两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。 2． 并积 两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。 3． 缩并 使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。 4． 点积 两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量 R 、 U 和 V 中一次点积 R · U 和 V · R 的结果是二阶张量 F 。 5． 对称化和反称化 对已给张量的 n 个指标进行 n 1不同置换并取所得的 n 1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。 6． 加法分解 任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。例如，速度梯度 可以分解为 ，其中 和 分别为 的对称和反称部分，即 和 。 1． 商法则 肯定某些量的张量性的法则。 特殊张量 特殊张量主要有四种： ①度量张量 两个基矢量点积的结果。 和 分别称为协变和逆变度量张量，而混合度量张量 ，这里 （或写为 ）为克罗内克符号，它定义为： ②交错张量或爱丁顿张量 可定义为 ，这里 表示元素 为行列式，而置换符号 表示 （ 是(1,2,3)的偶次置换），-1（ 是(1,2,3)的奇次置换），0（其余情形） ③转置张量 对任意二阶张量 的分量指标置换的结果，记为 。 ④正交张量 保持映象长度不变的二阶张量。 克里斯机费尔符号 ***类和第二类克里斯托费尔符号分别定义为： 和 。 协变导数与算符 1.协变导数 协变矢量 和逆变矢量 关于 的协变导数分别定义为： 和 。上列结果可以推广到高阶张量的协变导数。 2.不变性微分算符 推广矢量分析概念，对于任意张量场 T 有四种不变性微分算符，即梯度▽ T ，散度▽· T ，旋度▽× T 和拉普拉斯算符▽ 2 T 。 在直角坐标系下，协变和逆变间的差别消失，故可规定所有指标均写成下标，另外，由于克里斯托费尔符号为零，所以协变导数变成为普通偏导数。 例子 张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从1,1,1,到2,5,7。张量可以在指标为1,1,1有一个值，在指标为1,1,2有另一个值，等等一共70个值。（类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。） 一个张量场是在欧几里得空间中的每一点都给定一个张量值。这样不是像上面的例子中简单的有70个值，对于一个3阶张量，维度为2,5,7，空间中的每一个点有70个值和它相关。换句话说，张量场表示某个张量值的函式，其定义域为欧几里得空间。不是所有的函式都行 -- 更多关于这些要求的细节参看张量场。 不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。 作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。 工程上，刚体或流体内的应力也用一个张量表示；"张量"一词的拉丁语就表示引起张力的某种拉伸。如果材料内的一个特定的表面元素被选出来，在表面一侧的材料会对另一侧的施加一个力。通常，该力不和表面正交，但是它将线性的依赖于表面的朝向。这可以精确用（2,0）类型的张量精确的描述，或者更精确地说，是用一个类型为（2,0）的张量 场 来表示，因为张量可能在每一个不同。 另外一些著名的几何中张量的例子有二次型，以及曲率张量。物理张量的例子有能动张量，惯量和极化张量。 几何和物理的量可以通过考虑它们的表述内在的自由度来分类。标量是那些可以用一个数表示的 --- 速率,质量,温度,等等。有一些向量类型的量，例如力，它需要一个数字的列表来表述。最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。后面这些量只能视为张量。 实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。这个数称为张量的 阶 。这样，标量是0阶张量（不需要任何指标），而向量是一阶张量。 张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为4,4,4,4（3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度）的4阶张量。它可以当作256个分量（256 = 4 × 4 × 4 × 4）的矩阵（或者向量，其实是个4维数组）。只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。 张量密度 张量场也可有一个“密度”。密度为 r 的张量和普通张量一样坐标变换，但是它还要乘以雅可比矩阵的行列式值的第 r 次幂。这个的***解释可能是使用向量丛：其中，切丛的行列式丛是一个线丛，可以用来'扭转'其它丛 r 次。 张量相关 1.张量的理论来源。 亚瑟·凯莱( Arthur C***ley)着力研究的不变数理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立，引进了现代意义上的行列式的代数表达,这成为射影几何的重要工具。凯莱的不变数理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的套用研究这样的背景下。矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义，而这是张量概念的先导。 另一方面,格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念，这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。黎曼之后，在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下,形成了张量分析这样的数学方法，黎曼几何学也因此而建立起来了。 2.张量的定义、性质与套用价值 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变数线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量、动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比，有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系； 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何是***个被提出的非欧几何学，它的基本观点是： ***,第五公设不能被证明; 第二，可以在新的公理体系中展开一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，形成新的理论。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反： 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行。也就是说，黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设： 直线可以延长至任意长度，但长度是有限的,这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的，因此与罗氏几何根本不同。 黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候，就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路，克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面: 1.黎曼空间中的曲率是一个张量，其有关运算需采用绝对微分法； 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达; 3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号； 4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具，黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚，从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步，使得几何学与代数学更紧密地联系起来。 要而言之,张量分析的产生一方面是向量分析的推广，另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展,互相促进。
拓扑同胚和微分同胚的联系和区别？
研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。m维微分流形 Mm是局部欧几里得空间，即每点x∈M存在邻域u及同胚j：u→v，其中v是Rm的一个开集，(u，j)为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C¥光滑的。两微分流形之间的可微映射f: Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof oj1-1：Rm→Rn是C¥光滑的且f连续，此处(u1，j1) (w1，ψ1)分别是x及f(x)的局部坐标。若f：Mm→Nn是可微映射且其逆f--1:Nn→Mm也是可微映射，则称f是微分同胚。微分拓扑学主要研究以下几个方面的问题：①研究微分流形的拓扑结构、组合结构与微分结构的关系，证明了拓扑流形（把微分流形中局部坐标光滑改为连续）与微分流形之间有着本质区别，拓扑流形不一定是微分流形。一个拓扑流形可以存在不同的微分结构（局部坐标系）。例如7维怪球与S7同胚，存在多个相异的微分结构，使其与S7不微分同胚。②嵌入问题：给定两个微分流形Mm和Nn，m≤n，M是否可光滑地嵌入N，即是否存在光滑映射f:M→N，使f:M→f(M)是同胚，且局部表示ψof oj-1的秩等于m，其中j，ψ定义如上。H.惠特尼在20世纪30年代证明了n维紧微分流形可光滑地嵌入于R2n。③配边问题：对给定的一个紧微分流形，判断它是否为一个有边微分流形的边界。④微分动力体系：关于单参数微分同胚群的研究。⑤奇点理论：关于可微映射局部结构的研究及其等价分类；⑥突变论。
从历史上看，微分流形概念的提出及拓扑结构的研究起源于H.庞加莱，他提出了著名的庞加莱猜想。但由于数学工具的限制，相当长一段时间微分流形的拓扑研究一直未取得突破性进展。直到1936年惠特尼的嵌入定理，S.S.凯恩斯证明了微分流形的可剖分性，以及莫尔斯理论的产生，奇点理论这一分支的诞生，伴随着代数拓扑纤维丛、示性类以及同伦群的研究的进展使配边理论及嵌入问题研究进一步发展，从而逐渐形成了“微分拓扑”这一新学科，并进入20世纪数学发展的主流。
一类重要的拓扑空间。它除了具有通常的拓扑结构外，还添上了微分结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R3中的曲面是二维的微分流形，但微分流形的概念远比这广泛得多，非但维数不限于二维,而且流形也不必作为n维欧氏空间Rn中的曲面来定义。此外，一般微分流形也不一定有距离的概念。
具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间Rn的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,即,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是Ck相关的,则称M有Ck微分结构,又称M为n维的Ck微分流形。Ck相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是Ck可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号Cw表示解析函数。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x),(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为
而ƒ关于x（j＝1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形；k0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C∞流形又常称为光滑流形。
如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。
同一拓扑流形可以具有本质上不同的C∞微分结构。J.W.米尔诺对七维球面S7首先发现这个事实, 他证明七维球上可有多种微分结构。近年来，M.弗里得曼等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构,这与 n(n≠4)维欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。
微分流形上可以定义可微函数、切向量、切向量场、各种张量场等对象并建立其上的分析学。以下的叙述对于Ck流形（k任意）也成立，但是，为了简单起见,仅就M为C∞流形来叙述。
可微函数 设p∈U,ƒ是M上点p的邻域中定义的实值函数，(U，h)是C∞坐标图。如果函数ƒ。h-1：h(U)嶅Rn→R在h(p)点是r次连续可微的,则称ƒ在点p是Cr函数。这个定义与C∞坐标图的取法无关。如果在M上所定义的实值函数ƒ在M的各个点都是Cr的,则称ƒ为M上的Cr函数。M上的C∞函数全体组成一个实线性空间，记为F(M)。
切向量 设p∈M,M在点p处的一个切向量是指从F（M）到R的一个线性映射x，使得对于任意的ƒ，g∈F(M)，满足：
对于在p点的切向量x1,x2和实数λ1,λ2,定义λ1x1+λ2x2如下：
那么,点p处的切向量全体构成一个n维的实线性空间TP，TP称为在p处M的切空间或切向量空间(也记为TP(M))。如果（x1，x2，…，xn）为点p处的局部坐标系，则由定义的n个独立的切向量，构成TP的一组基，称为自然标架（或坐标标架）。M的切向量全体构成以M为底空间的向量丛（见纤维丛），称为M的切向量丛，简称切丛。M的切丛的一个截面称为M上的一个向量场。在局部坐标系中，向量场可表成
的形式，式中ξi(x)是坐标(x)i的C∞函数。
TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间，记为T坝。T坝中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛，简称余切丛，它的截面称为M上的一次微分形式。
由TP和T坝通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成张量丛，它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场（见多重线性代数、张量）。
可微映射 设φ是从C∞流形M到C∞流形N 的连续映射,如果对于N上的任意Cr函数ƒ,M上的函数ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微映射，或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚，而且φ和φ-1都是C∞的，则称φ为微分同胚，此时也称M与N是微分同胚的微分流形。
映射的微分 设φ是从M到N的C∞映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x┡：
这个对应x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到(N)的线性映射,有时也称为φ在切空间的诱导映射, 常用φ*P或φ*表示。利用对偶性，φ也自然地诱导了从余切空间T到T坝的线性映射，常记为(dφP)*或φ坝或φ*。由张量积运算，φ还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性映射。
子流形 设M和N是两个C∞流形，φ：M→N是C∞映射。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入，而φ(M)称为N 的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入，此时φ(M)称为N的嵌入子流形。
在微分流形上还可以定义外微分形式（见外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即是p阶反对称协变张量,M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间Ep。对外微分形式可以进行加法运算（同次外微分形式可以相加）,外积运算（p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式），还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为
(3)
设ω∈Ep且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成Ep的一个子空间记为Zp。设ω∈Ep,且ω=dσ(σ∈Ep-1，则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成Ep的一个子空间记为Bp，Bp嶅Zp。商空间
(4)
称为p次德·拉姆上同调群(或p次上同调空间)。德·拉姆建立了微分结构与拓扑结构的一个重要关系：设M是紧致流形,则Hp(M)是有限维的,且其维数等于M的第p个贝蒂数bp。
仿紧微分流形均可赋予适当的黎曼度量（见黎曼几何学），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，这时称为黎曼流形。黎曼流形是微分几何的主要的研究对象。
（代数拓扑）关于切向量丛的
S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,
因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.
又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.
Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.
所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.
但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.
不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.
注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).
关于切丛和切丛是可定向光滑流形的证明的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。